2的補數

2的補數，把負數變成2進位0和1的方法。

電腦「儲存負數」也是儲存「2的補數」。

電腦「計算」的方式都是用「2的補數」來計算。

名詞介紹

符號數值表示法

「符號數值表示法」就是有正負號的二進位。

把最左邊的第1個bit當作正負號，1為負號，0為正號，剩下的bit就跟原本二進位一樣。

1的符號數值表示法 = 00000001

-1的符號數值表示法 = 10000001

1的補數

把整數1的二進位00000001，0與1互換，就是1的補數。

00000001
↓
11111110

2的補數

1的補數 + 1 = 2的補數

 11111110
+       1
-----------
 11111111

11111111 為2的補數。

以上是+1變成-1(2的補數)的過程，電腦負數的計算與儲存，都是存2的補數。

正整數

正整數的二進位與「符號數值表示法」、「1的補數」、「2的補數」都一樣，不用再轉換。

正整數最左邊第1個bit是0。

1 符號數值表示法 = 00000001

1 1的補數 = 00000001

1 2的補數 = 00000001

轉成2的補數

負數就是2的補數，負數不能再轉2的補數。

只有正整數才能轉2的補數。

要把正整數1變成負-1的過程如下:

00000001
   ↓ 
0與1互換
   ↓ 
11111110
   ↓ 
  加1
   ↓ 
11111111

2的補數轉回符號數值表示法

英文是Convert 2’s complement to original binary.

什麼時候要把2的補數轉回「符號數值表示法」？

若計算結果是負數(最左邊第1個bit是1)，負數本身就是2的補數，但電腦顯示負號是用「符號數值表示法」也就是有正負號的二進位來顯示，不是顯示2的補數。

如何轉回符號數值表示法？

2的補數 -> 最左邊第1個bit不變，其它0與1互換 -> 加1 -> 符號數值表示法

2的補數 11111111
   ↓ 
最左邊第1個bit不變，其它0與1互換
   ↓ 
10000000
   ↓ 
  加1
   ↓ 
10000001

10000001

注意！左邊第1個bit是正負號，0代表正整數，1代表負數。

後面7個bit(0000001)才是代表數值1。

計算

電腦的計算是用2的補數在計算，所有數字都要轉成2的補數，負數(第1個bit是1)本身就是2的補數，就不用再轉成2的補數。

正整數的二進位與「符號數值表示法」、「1的補數」、「2的補數」都一樣，不用再轉換。

顯示

計算是用2的補數在計算，顯示結果在螢幕則是以「符號數值表示法」來顯示。

範例1

1
System.out.println(~ 2);

2的2進位 = 00000010

~ 0與1位元互換，位元反轉運算子

00000010
   ↓
~ 0與1互換
   ↓
11111101

計算結果是11111101是一個負數，第1個bit是1，負數本身就是2的補數。

顯示結果在螢幕則是以「符號數值表示法」來顯示，2的補數要轉回「符號數值表示法」。

2的補數 -> 最左邊第1個bit不變，其它0與1互換 -> 加1 -> 符號數值表示法

11111101
   ↓ 
最左邊第1個bit不變，其它0與1互換
   ↓ 
10000010
   ↓ 
  加1
   ↓ 
10000011

程式碼

1
2
3
4
5
public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println(~ 2);
  }
}

-3

執行結果就是-3

2的補數變成程式

要如何寫2的補數的程式碼呢？

前一個例子的2的補數11111101

java程式碼

1
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8
public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    // 2的補數
    byte b = (byte) 0b11111101;
    // 會自動轉回符號數值表示法
    System.out.println(b);
  }
}

-3

c++程式碼

1
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9
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
  // 2的補數
  int8_t b = 0b11111101;
  // 會自動轉回符號數值表示法
  cout << (int)b << endl;
  return 0;
}

-3

計算結果為正整數

題目:

1
System.out.println(~ -2);

計算是用2的補數來計算，以下是計算步驟:

1. 先求出-2，也就是正整數2的2補數(負數)。
2. 接下來~ 0與1位元互換，位元反轉運算子

求出-2

正整數2的二進位 = 00000010

以下是正整數變成負數的過程:

2進位 -> 0與1互換 -> 加1 -> 2的補數

00000010 
   ↓
0與1互換
   ↓
11111101
   ↓
  加1
   ↓
11111110

得到-2(2的補數) = 11111110

位元反轉運算子

接下來~ 0與1位元互換，位元反轉運算子

11111110
   ↓
0與1位元互換，位元反轉運算子
   ↓
00000001

00000001已經是正整數二進位，左邊第1個bit是0，不用再轉回符號數值表示法。

程式碼

1
2
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public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println(~ -2);
  }
}

1

位元OR運算子計算

|位元OR運算子，有1個為1，才是1。

題目:

1
  System.out.println(-2 | 3);

計算步驟:

1. -2的2的補數，上一個範例已經算出來是11111110。
2. 3是正整數，正整數2的補數與2進位的3都是相同。
3. -2與3，or運算。
4. 若結果為2的補數(第1個bit為1)，要再轉回符號數值表示法。

-2與3進行or運算。

   11111110 (-2)
or 00000011 (3)
   ---------
   11111111 

or的計算結果為負數(2的補數)，第1個bit是1。

要把計算結果轉成「符號數值表示法」。

2的補數 -> 最左邊第1個bit不變，其它0與1互換 -> 加1 -> 符號數值表示法

11111111
   ↓
最左邊第1個bit不變，其它0與1互換
   ↓
10000000
   ↓
  加1
   ↓
10000001

1
2
3
4
5
public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println(-2 | 3);
  }
}

-1

執行結果為-1。

重要公式

正整數二進位變成負數(2的補數)過程:

正整數二進位
   ↓
0與1互換(1的補數)
   ↓
  加1
   ↓
2的補數

負數(2的補數)變成「符號數值表示法」過程。

2的補數
   ↓
最左邊第1個bit不變，其它0與1互換
   ↓
  加1
   ↓
符號數值表示法

其它注意事項

0的符號數值表示法，1的補數，2的補數都一樣

0 符號數值表示法 = 00000000

0 1的補數 = 00000000

0 2的補數 = 00000000

8bit的-128

8bit的-128，10000000是2的補數，10000000沒辦法轉回「符號數值表示法」。

1
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5
6
7
public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    // -128
    byte b = (byte) 0b10000000;
    System.out.println(b);
  }
}

符號數值表示法、2的補數

以下是有爭議，容易搞混淆的。

unsinged

unsinged的意思是沒有正負號的正整數。

C++有unsinged正整數。

Java的數字都有正負號，沒有unsinged正整數。

其它補充:二進位減法

若尾數為0，二進位減法技巧。

從右向左，第一個出現的1變成0，後面所有的0變成1。

 10000010
-       1
------------
 10000001

 10000100
-       1
------------
 10000011

 10001000
-       1
------------
 10000111

 10101000
-       1
------------
 10100111